Pascal, Fermat và ván cược bỏ dở: lá thư khai sinh môn xác suất

Ván cược bị bỏ dở

Hai người chơi một trò đơn giản: tung đồng xu, ai thắng đủ ba ván trước thì lấy toàn bộ số tiền cược. Mỗi người đặt 32 đồng pistole, tổng cộng 64 đồng. Người thứ nhất đã thắng hai ván, người thứ hai thắng một. Đúng lúc ấy, có việc gấp, trò chơi phải dừng lại.

Chia 64 đồng thế nào cho công bằng?

Chia đôi thì người đang dẫn thấy thiệt: anh ta chỉ còn cách chiến thắng một ván. Đưa hết cho người dẫn thì người kia phản đối: biết đâu anh ta sẽ lội ngược dòng. Chia theo tỷ số 2 : 1, tức người dẫn được 43 đồng, nghe có vẻ hợp lý, nhưng hóa ra cũng sai.

Câu đố này có tên là bài toán chia điểm (problem of points). Nó làm đau đầu các nhà toán học châu Âu suốt gần hai thế kỷ. Rồi vào mùa hè năm 1654, hai người Pháp giải được nó qua một loạt thư tay: Blaise Pascal ở Paris và Pierre de Fermat ở Toulouse. Trong lúc giải, họ đặt nền móng cho cả một ngành toán học mới: lý thuyết xác suất.

Bài này là tập đầu tiên trong loạt bài về các nhà toán học. Mỗi tập kể về một người và một khoảnh khắc: một bài toán cụ thể, cách họ nghĩ, và ý tưởng ấy đang nằm ở đâu trong đời sống hôm nay. Cuối bài, bạn sẽ thấy cách chia 64 đồng đúng là bao nhiêu, và vì sao câu trả lời ấy vẫn được dùng mỗi khi một giải đấu thể thao bị dừng giữa chừng.

Một câu đố cũ hai trăm năm

Bài toán chia điểm không phải do Pascal nghĩ ra. Nó đã xuất hiện trong các sách số học từ thời Phục Hưng.

Năm 1494, tu sĩ người Ý Luca Pacioli in một cuốn sách giáo khoa toán lớn, Summa de arithmetica. Trong đó có một ví dụ: hai đội chơi một trò bóng, đội nào ghi đủ 60 điểm thì thắng, nhưng trận đấu dừng giữa chừng. Pacioli đề xuất một quy tắc nghe rất tự nhiên: chia tiền theo tỷ lệ số điểm mỗi bên đã có[3].

Hơn nửa thế kỷ sau, nhà toán học Niccolò Tartaglia chỉ ra một chỗ vô lý trong quy tắc này. Giả sử trận đấu dừng khi mới có đúng một điểm được ghi. Theo Pacioli, đội ghi điểm ấy lấy toàn bộ tiền, dù trận đấu còn rất dài và một điểm dẫn chẳng nói lên mấy. Tartaglia thử một cách khác, dựa trên khoảng cách dẫn điểm so với độ dài trận đấu. Nhưng chính ông cũng không tin bài toán có lời giải khiến cả hai bên đều thấy công bằng. Ông viết rằng chia kiểu gì thì cũng sẽ có người kiện[3].

Mọi lời giải trước năm 1654 đều mắc chung một lỗi: chúng chỉ nhìn quá khứ, tức số ván mỗi bên đã thắng. Bí quyết của Pascal và Fermat là quay đầu nhìn về phía ngược lại.

Hai người chưa từng gặp mặt

Năm 1654, Blaise Pascal 31 tuổi và đã nổi tiếng từ lâu. Năm 16 tuổi, ông viết một chuyên luận về hình học khiến các nhà toán học lớn của Paris phải chú ý. Năm 19 tuổi, ông chế tạo một cỗ máy cộng trừ bằng bánh răng để giúp cha tính thuế, sau này gọi là Pascaline, một trong những máy tính cơ học đầu tiên.

Pierre de Fermat thì khác hẳn. Ông là luật gia, làm thẩm phán ở tòa án tối cao vùng Toulouse, và làm toán như một thú vui lúc rảnh. Ông hầu như không công bố gì. Phần lớn những gì hậu thế biết về toán học của Fermat đến từ thư từ và những dòng ghi chú ngoài lề sách, trong đó có câu nổi tiếng về một “chứng minh tuyệt vời” mà lề sách quá hẹp không ghi vừa.

Hai người chưa bao giờ gặp mặt. Câu chuyện của họ nằm trọn trong những lá thư gửi qua lại giữa Paris và Toulouse mùa hè năm ấy. Một số lá đã thất lạc, nhưng những lá còn lại đủ để thấy họ suy nghĩ thế nào[1].

Người khơi mào là Antoine Gombaud, một nhà văn kiêm tay chơi trong giới quý tộc Paris, thường được gọi bằng biệt danh Chevalier de Méré. Ông mang đến cho Pascal hai câu đố cờ bạc. Câu đầu tiên là bài toán chia điểm. Câu thứ hai là một nghịch lý về xúc xắc mà ông ta cứ thua mãi.

Nghịch lý xúc xắc của de Méré

De Méré có kinh nghiệm thực tế: cá rằng “tung một con xúc xắc bốn lần, sẽ có ít nhất một lần ra mặt 6” là một kèo có lời. Ông suy luận tiếp: tung hai con xúc xắc thì khả năng ra “đôi 6” nhỏ hơn 6 lần, vậy chỉ cần tung nhiều hơn 6 lần, tức 24 lần, là kèo lại có lời như trước.

Vậy mà ông cứ thua.

Thử đếm. Khả năng không ra mặt 6 trong một lần tung là $\tfrac{5}{6}$. Bốn lần liên tiếp đều không ra 6 có khả năng $\left(\tfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}482$. Vậy khả năng có ít nhất một lần ra 6 là khoảng 51,8%, hơn một nửa một chút. Đúng là kèo có lời.

Với hai con xúc xắc, khả năng không ra đôi 6 trong một lần tung là $\tfrac{35}{36}$. Hai mươi bốn lần đều không ra có khả năng $\left(\tfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}509$. Vậy khả năng có ít nhất một lần đôi 6 chỉ khoảng 49,1%, dưới một nửa. Kèo lỗ.

Trực giác “nhỏ hơn 6 lần thì tung nhiều hơn 6 lần” là sai, vì khả năng không cộng dồn theo cách ấy. Muốn kèo đôi 6 có lời, cần tung 25 lần. Việc một tay chơi có thể cảm nhận được chênh lệch chưa tới 3 điểm phần trăm này sau rất nhiều ván cũng là một điều đáng nể.

Nhưng câu đố thứ hai mới là thứ làm nên lịch sử.

Fermat: đếm hết những tương lai có thể

Trở lại ván cược dừng ở tỷ số 2–1, chơi tới 3.

Fermat lập luận như sau. Trò chơi chắc chắn kết thúc sau tối đa hai ván nữa. Vậy hãy tưởng tượng hai ván ấy được chơi tiếp, kể cả khi ván thứ nhất đã đủ phân thắng bại. Hai ván tung đồng xu có bốn khả năng, khả năng nào cũng như nhau:

Người dẫn trước (A) thắng ở ba trên bốn tương lai có thể. Vậy A nên nhận ba phần tư số tiền: 48 đồng. Người kia nhận 16 đồng.

Cách nghĩ này có một bước nhảy táo bạo: tính cả những ván “không cần chơi”. Ở tương lai A–A, trò chơi thực ra đã kết thúc sau ván 4, ván 5 là thừa. Thêm ván thừa ấy vào không làm thay đổi ai thắng, nhưng biến mọi tương lai thành những khả năng ngang nhau, nên chỉ cần đếm. Lúc đầu chính Pascal cũng ngờ vực bước này, nhất là khi có ba người chơi. Fermat đã thuyết phục được ông.

Pascal: lùi từng bước từ đích về

Pascal tìm ra một con đường khác, và về lâu dài, nó còn quan trọng hơn. Trong lá thư đề ngày 29 tháng 7 năm 1654, ông giải đúng ví dụ trên bằng cách lùi từng bước từ cuối trò chơi về[1].

Giả sử ván tiếp theo được chơi:

• Nếu A thắng, tỷ số thành 3–1, A thắng chung cuộc và lấy cả 64 đồng.
• Nếu B thắng, tỷ số thành 2–2, hai bên ngang nhau hoàn toàn, nên mỗi người xứng đáng 32 đồng.

A chắc chắn có ít nhất 32 đồng dù ván tiếp theo ra sao. Phần 32 đồng còn lại thì hai bên có cơ hội ngang nhau, nên chia đôi: mỗi người 16. Vậy A được $32 + 16 = 48$ đồng, B được 16. Cùng đáp số với Fermat.

Viết gọn lại: phần của A ở mỗi tình huống bằng trung bình phần của A ở hai tình huống có thể xảy ra tiếp theo. Nếu gọi $V(a, b)$ là phần tiền A nên nhận khi A còn thiếu $a$ ván và B còn thiếu $b$ ván, thì:

với $V(0, b) = 1$ (A đã thắng) và $V(a, 0) = 0$ (B đã thắng). Từ hai “điểm đích” ấy, ta lùi dần về bất kỳ tỷ số nào cũng được.

Bảng trên cho thấy vì sao cách của Pacioli sai. Chia tiền đúng không phụ thuộc vào số ván đã thắng, mà vào số ván còn thiếu. Tỷ số 2–1 trong trò chơi tới 3 (A thiếu 1, B thiếu 2) cho A 75%. Nhưng cũng tỷ số 2–1 ấy trong trò chơi tới 10 (A thiếu 8, B thiếu 9) chỉ cho A khoảng 60%. Quá khứ giống nhau, tương lai khác nhau.

Tam giác của Pascal

Khi tính bảng trên bằng tay, Pascal nhận ra những con số ấy lặp lại một cấu trúc mà ông đã nghiên cứu: một tam giác số, mỗi số là tổng của hai số ngay phía trên nó.

            1
          1   1
        1   2   1
      1   3   3   1
    1   4   6   4   1
  1   5  10  10   5   1

Hàng thứ $n$ của tam giác đếm số cách để có đúng $k$ mặt ngửa khi tung $n$ đồng xu. Ví dụ hàng 4 (1, 4, 6, 4, 1) cho biết tung 4 đồng xu thì có 1 cách ra 0 mặt ngửa, 4 cách ra 1 mặt ngửa, 6 cách ra 2 mặt ngửa, và cứ thế. Muốn biết A thắng ở bao nhiêu tương lai, chỉ cần cộng một đoạn của hàng tương ứng: đúng là cách đếm của Fermat, nhưng không phải liệt kê từng tương lai.

Pascal viết một chuyên luận về tam giác này cũng trong năm 1654. Nó chỉ được in sau khi ông mất, năm 1665. Tam giác này đã được các nhà toán học Trung Quốc, Ba Tư và Ấn Độ biết đến từ nhiều thế kỷ trước. Ở Trung Quốc, nó mang tên Dương Huy, nhà toán học thế kỷ 13. Nhưng ở phương Tây, nó gắn với tên Pascal, vì ông là người dùng nó để tính toán với sự bất định.

Một ý tưởng mới: giá trị của tương lai

Điều thực sự mới trong những lá thư năm 1654 không nằm ở con số 48 đồng. Nó nằm ở một cách nghĩ:

Thứ một người chơi đang “sở hữu” giữa trò chơi không phải là các ván đã thắng, mà là giá trị trung bình của mọi tương lai có thể, mỗi tương lai được tính theo khả năng xảy ra của nó.

Ngày nay, khái niệm ấy có tên là giá trị kỳ vọng (expected value). Ba năm sau, năm 1657, nhà khoa học Hà Lan Christiaan Huygens viết cuốn sách in đầu tiên về xác suất, De ratiociniis in ludo aleae (“Về suy luận trong trò chơi may rủi”). Cuốn sách được viết sau khi ông sang Paris và nghe về những lá thư này. Trong sách, Huygens trình bày giá trị kỳ vọng như một công cụ có hệ thống. Từ đó, xác suất bắt đầu rời khỏi sòng bạc.

Năm 1654 cũng là năm đời Pascal rẽ sang hướng khác. Đêm 23 tháng 11 năm ấy, ông trải qua một trải nghiệm tôn giáo dữ dội và ghi lại trên một mảnh giấy, sau này được tìm thấy khâu trong lớp lót áo của ông. Từ đó, Pascal dành phần lớn quãng đời còn lại cho triết học và thần học. Những lá thư về ván cược bỏ dở là một trong những công trình toán học lớn cuối cùng của ông.

Ý tưởng ấy ở đâu hôm nay?

Bài toán chia tiền cược nghe có vẻ chỉ dành cho con bạc thế kỷ 17. Nhưng chính câu hỏi “chia thế nào khi trò chơi dừng giữa chừng?” vẫn xuất hiện, với số tiền lớn hơn rất nhiều.

Khi một mùa giải bị hủy

Tháng 3 năm 2020, đại dịch COVID-19 khiến giải bóng đá vô địch Pháp, Ligue 1, phải dừng khi mỗi đội mới đá khoảng 27–28 trên 38 vòng. Ngày 30 tháng 4, ban tổ chức quyết định không đá tiếp. Họ chọn đội vô địch và các đội xuống hạng theo số điểm trung bình mỗi trận đã đá[4]. Paris Saint-Germain, đang dẫn đầu cách đội thứ hai 12 điểm, được trao chức vô địch.

Đó gần như đúng là quy tắc của Pacioli năm 1494: chia theo những gì đã có. Quyết định gây nhiều tranh cãi, nhất là ở nhóm cuối bảng, nơi khoảng cách chỉ là vài điểm và mỗi đội còn tới mười trận để thay đổi số phận. Câu hỏi mà Pascal sẽ đặt ra là: với số trận còn lại, mỗi đội có khả năng trụ hạng là bao nhiêu? Câu hỏi ấy khó trả lời hơn nhiều, vì các đội bóng không phải những đồng xu 50/50. Nhưng đó mới là câu hỏi đúng.

Khi mưa làm gián đoạn trận cricket

Môn cricket có một bài toán chia điểm thực sự phải giải gần như mỗi tuần. Trận đấu một ngày kéo dài hàng giờ, và khi mưa làm mất một phần thời gian, ban tổ chức phải tính lại mục tiêu điểm cho đội đánh sau sao cho công bằng.

Cuối thập niên 1990, hai nhà thống kê người Anh, Frank Duckworth và Tony Lewis, đề xuất một phương pháp dựa trên đúng ý tưởng của Pascal. Thứ được tính không phải số điểm đội đã ghi, mà là lượng “tài nguyên” còn lại: số lượt ném bóng và số người đánh chưa bị loại, tức tiềm năng ghi điểm trong tương lai. Phương pháp này, sau được cập nhật thành Duckworth–Lewis–Stern, hiện là quy định chính thức ở các giải cricket quốc tế[5].

Thanh “khả năng chiến thắng” trên màn hình

Ngày nay, nhiều chương trình truyền hình thể thao hiện một thanh phần trăm cập nhật theo từng pha bóng: “đội A có 73% khả năng thắng”. Bên dưới con số ấy là một mô hình tính đúng thứ mà Pascal gọi là giá trị của ván cược tại thời điểm hiện tại: trung bình của mọi diễn biến có thể còn lại, theo khả năng xảy ra của từng diễn biến.

Bất cứ khi nào ai đó hỏi “tình thế này đáng giá bao nhiêu, khi kết cục chưa đến?”, họ đang dùng ý tưởng ra đời trong những lá thư mùa hè năm 1654.

Tự tay chia tiền cược

Đoạn Python dưới đây tính phần tiền cược theo đúng cách của Pascal: lùi từng bước từ hai “điểm đích” về. Kết quả là phân số chính xác, không làm tròn. Nó cũng vẽ ra Hình 1 ở trên. Cần cài matplotlib.

from fractions import Fraction
from functools import lru_cache

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams.update({"figure.facecolor": "#16181c", "text.color": "#d4d7dc", "axes.labelcolor": "#a4a9b2",
                     "xtick.color": "#878d97", "ytick.color": "#878d97", "font.size": 12})


@lru_cache(maxsize=None)
def share(a: int, b: int) -> Fraction:
    """Phần tiền cược của người A khi A còn thiếu a ván, B còn thiếu b ván (mỗi ván 50/50)."""
    if a == 0:
        return Fraction(1)
    if b == 0:
        return Fraction(0)
    # Ý của Pascal: ván tiếp theo hoặc A thắng, hoặc B thắng; lấy trung bình hai khả năng.
    return (share(a - 1, b) + share(a, b - 1)) / 2


# Bức thư 29/7/1654: chơi tới 3 điểm, tỷ số 2–1, tổng cược 64 pistole.
print("A thiếu 1 ván, B thiếu 2 ván:", share(1, 2), "→", share(1, 2) * 64, "pistole")
print("A thiếu 1 ván, B thiếu 3 ván:", share(1, 3), "→", share(1, 3) * 64, "pistole")
print("A thiếu 2 ván, B thiếu 3 ván:", share(2, 3), "→", float(share(2, 3) * 64), "pistole")

N = 7
grid = [[float(share(a, b)) for b in range(1, N + 1)] for a in range(1, N + 1)]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
im = ax.imshow(grid, cmap="cividis", vmin=0, vmax=1, origin="lower",
               extent=(0.5, N + 0.5, 0.5, N + 0.5))
for a in range(1, N + 1):
    for b in range(1, N + 1):
        v = grid[a - 1][b - 1]
        ax.text(b, a, f"{v:.0%}", ha="center", va="center", fontsize=10,
                color="#16181c" if v > 0.55 else "#d4d7dc")
ax.set_xlabel("Số ván B còn thiếu")
ax.set_ylabel("Số ván A còn thiếu")
ax.set_title("Phần tiền cược A nên nhận khi ván cược dừng giữa chừng", color="#d4d7dc")
fig.savefig("problem-of-points.png", dpi=150, bbox_inches="tight")

A thiếu 1 ván, B thiếu 2 ván: 3/4 → 48 pistole
A thiếu 1 ván, B thiếu 3 ván: 7/8 → 56 pistole
A thiếu 2 ván, B thiếu 3 ván: 11/16 → 44.0 pistole

Dòng đầu tiên chính là lời giải trong lá thư năm 1654: 48 trên 64 đồng. Bạn có thể thử đổi / 2 thành một xác suất khác, chẳng hạn khi A giỏi hơn và thắng mỗi ván với khả năng 60%, để xem bảng thay đổi ra sao.

Quay lại 64 đồng pistole

Câu trả lời cho câu đố đầu bài: người dẫn 2–1 nhận 48 đồng, người kia 16 đồng. Không phải chia đôi, không phải chia theo tỷ số 2 : 1, cũng không phải đưa hết cho người dẫn.

Con số ấy không quan trọng bằng con đường dẫn tới nó. Trước năm 1654, mọi người cố chia tiền bằng cách nhìn lại những gì đã xảy ra. Pascal và Fermat là những người đầu tiên tính toán một cách chặt chẽ với những gì chưa xảy ra: liệt kê các tương lai có thể, gán cho mỗi tương lai một khả năng, rồi lấy trung bình. Đó là khoảnh khắc mà sự may rủi, thứ trước đó chỉ thuộc về số phận, lần đầu trở thành một thứ có thể đo đếm.

Nếu bạn muốn thấy chính cách nghĩ ấy giải quyết những nghịch lý hiện đại, hãy đọc tiếp các bài Monty Hall, Nghịch lý ngày sinh và Gambler’s Fallacy. Tập sau của loạt bài này là về Euler và bảy cây cầu ở Königsberg.